Question

2．如图，将矩形ABCD沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，BE，若△ABE为等边三角形，且S_△CDE=$\sqrt{3}$，则CD的长为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过E作EM⊥AB于M，交DC于N，根据矩形的性质得出DC=AB，DC∥AB，∠ABC=90°，设AB=AE=BE=2a，则BC=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$a=MN，求出EN，再根据S_△CDE=$\sqrt{3}$，列方程求解，即可得到a的值，进而得到CD的长．

解答 解：如图，过E作EM⊥AB于M，交DC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB，DC∥AB，∠ABC=90°，
∴MN=BC，EN⊥DC，
∵延AC折叠B和E重合，△AEB是等边三角形，
∴∠EAC=∠BAC=30°，
设AB=AE=BE=2a，则BC=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$a，即MN=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$a，
∵△ABE是等边三角形，EM⊥AB，
∴AM=a，由勾股定理得：EM=$\sqrt{3}$a，
∴△DCE的面积是$\frac{1}{2}$×DC×EN=$\frac{1}{2}$×2a×（$\sqrt{3}$a-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$a）=$\frac{1}{3}\sqrt{3}{a}^{2}$，
又∵S_△CDE=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}\sqrt{3}{a}^{2}$=$\sqrt{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$，（负值已舍去）
∴CD=2a=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是作辅助线，依据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形进行计算．解题时注意方程思想的运用．