Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．
（1）直接写出A、C两点的坐标；
（2）平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，设直线m运动的时间为t（秒）．
①若MN=AC，求t的值；
②设△OMN的面积为S，当t为何值时，S=．

Answer 1

解：（1）A（4，0），C（0，3）；
（2）①x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，直线m运动的时间为t时，
可以分为两种情况：
当M、N分别在OA、OC上时，如下图所示：

∵直线m平行于对角线AC
∴△OMN∽△OAC
∴==
∴t=2s；
当M、N分别在AB、BC上时，如下图所示：

∵直线m平行于对角线AC
∴△BMN∽△BAC
∴==
∴t=6
综上所述，当t=2或6时，MN=AC
②当0＜t≤4时，OM=t，
由△OMN∽△OAC，
得，
∴ON=t，S==
∴t=2；
当4＜t＜8时，
如图，∵OD=t，∴AD=t-4．

由△DAM∽△AOC，可得AM=（t-4）
∴BM=6-t．
由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8-t
∴CN=t-4
S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积-Rt△MBN的面积-Rt△NCO的面积
=12--（8-t）（6-t）-
=-+3t，
∴-+3t=
解得
取t=4+2
故当t=2或4+2时，△OMN的面积S=．
分析：（1）因为四边形OABC是矩形且点B的坐标为（4，3），所以可知，OA=CB=4，OC=AB=3，故可知A、C两点的坐标；
（2）①可以分为两种情况：当M、N分别在OA、OC上时，可证明△OMN∽△OAC，由题意可求得OM的长，即可求得t的值；当M、N分别在AB、BC上时，可证明△BMN∽△BAC，由题意可求得BM的长，即可由相似三角形的性质求得t的值，综合以上两种情况即是要求的t值．
②可以分为两种情况：当M、N分别在OA、OC上时，可证明△OMN∽△OAC，由题意可求得OM、ON的长，即可求得面积的表达式，再由面积为可得t的值；当M、N分别在AB、BC上时，由△DAM∽△AOC，可得AM，由△BMN∽△BAC，可得BN，即可得BM、CN，由S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积-Rt△MBN的面积-Rt△NCO的面积，可得关于t的表达式，再由面积为可得t的值，综合以上两种情况即是要求的t值．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及分类讨论思想．