Question

【题目】我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．

概念理解：在“矩形、菱形和正方形”这三种特殊四边形中，不一定是“等邻角四边形”的是______．

问题探究：如图，在等邻角四边形ABCD中，∠B=∠C，AB=3，BC=9，P为线段BC上一动点（不包含端点B，C），Q为直线CD上一动点，连结PA，PQ，在P，Q的运动过程中始终满足∠APQ=∠B，当CQ达到最大时，试求此时BP的长．

应用拓展：在以60°为等角的等邻角四边形ABCD中，∠D=90°，若AB=3，AD=，试求等邻角四边形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】概念理解：菱形；问题探究：当CQ达到最大时，此时BP的长是；应用拓展：等邻角四边形ABCD的周长为12+或6-3．

【解析】

概念理解：根据等邻边四边形的定义即可解答；问题探究：设BP=x，CQ=y，则PC=9-x，根据两角对应相等两三角形相似证明△PBA∽△QCP，列比例式可得：，则y=-+3x=-（x-）2+，根据二次函数的最值可得结论；应用拓展：准确画图后作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理可求得四边形各边的长，相加可得周长．

概念理解：

①∵矩形的四个角都是直角，

根据“等邻角四边形”的定义，

得到矩形是“等邻角四边形”；

②同理可得：正方形是“等邻角四边形”，

③∵菱形的对角相等，邻角互补，但不一定相等，

∴菱形不一定是“等邻角四边形”；

故答案为：菱形；

问题探究：

如图，设BP=x，CQ=y，则PC=9-x，

∵∠APB+∠APQ+∠CPQ=180°，

∴∠APB+∠CPQ=180°-∠APQ，

∵∠CPQ+∠C+∠CQP=180°，

∴∠CPQ+∠CQP=180°-∠C，

∵∠C=∠APQ，

∴∠APB+∠CPQ=∠CPQ+∠CQP，

∴∠APB=∠CQP，

∵∠B=∠C，

∴△PBA∽△QCP，

∴，

∴，

∴y=-+3x=-（x-）2+，

∵-＜0，

∴当x=时，y有最大值是，

即当CQ达到最大时，此时BP的长是；．

应用拓展：

（3）有两种情况：

①当∠B=∠C=60°时，

如图，延长DA，CB交于E，过B作BF⊥DE于F，

∵∠C=60°，

∴∠E=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BAE=∠E=30°，

∴AB=BE=3，

∴BF=，EF=AF=，

∴DE=AD+AE=+3=4，

Rt△DCE中，设CD=x，则CE=2x，

由勾股定理得：x2+（4）2=（2x）2，

x=±4，

∴CE=8，CD=4，

∴BC=8-3=5，

∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=3+5+4+=12+．

②当∠A=∠B=60°时，如图所示：

延长AD、BC交于点E，

∵∠A=∠B=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠E=60°，

∵∠ADC=90°，

∴∠DCE=30°，

∵AB=3，AD=，

∴DE=3-，CE=6-2，CD=DE=3-3，

∴BC=3-（6-2）=2-3，

∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=3+2-3+3-3+=6-3；

综上，等邻角四边形ABCD的周长为12+或6-3．