Question

9．在平面直角坐标xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为45°或135°；
（2）连接AC，BC，在点C在⊙O运动过程中，△ABC的面积是否存在最大值？并求出△ABC的最大值；
（3）直接写出在（2）的条件下D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°-∠OBA=135°，从而得出答案；
（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=$\sqrt{2}$OA，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；
（3）由（2）可知当△ABC的面积最大值时，则点C在第三象限，因为OD⊥OC，所以点D在第二象限，过点D作DH⊥OB，DM⊥AO，分别求出DH，DM的长即可求出点D的坐标．

解答 解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°，
当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°-∠OBA=135°，
∴∠OBA=45°或135°；
故答案为：45°或135°；
（2）∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=6$\sqrt{2}$，
∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，
如图：此时C点到AB的距离最大值为CE的长，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
∴CE=OC+OE=3+3$\sqrt{2}$，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{1}{2}$（3+3$\sqrt{2}$）×6$\sqrt{2}$=9$\sqrt{2}$+18，
当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9$\sqrt{2}$+18．
（3）过点D作DH⊥OB，DM⊥AO，
由（2）可知点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置，
∴∠COM=45°，
∵OD⊥OC，
∴∠DOM=45°，
∵OD=3，
∴DM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，DH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴点D坐标是（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查了圆的综合题，用到的知识点是平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理进行几何计算是本题的关键．