Question

15．如图，直线y=kx+b与双曲线y=$\frac{3}{x}$相交于点A，B，与x轴相交于点C，矩形DEFG的端点D在直线AB上，E，F在x轴上，点G在双曲线上，若DE=$\frac{3}{2}$，CE=2，点A的横坐标是1．
（1）求点A，G的坐标；
（2）求直线AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质结合DE=$\frac{3}{2}$，可知点G的纵坐标为$\frac{3}{2}$，分别令双曲线y=$\frac{3}{x}$中x=1、y=$\frac{3}{2}$，即可求出点A、G的坐标；
（2）分别令直线y=kx+b中y=0、y=$\frac{3}{2}$，求出点C、E的横坐标，结合线段CE=2即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k值，将k值和点A的坐标代入到直线y=kx+b中得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵DE=$\frac{3}{2}$，且四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE=$\frac{3}{2}$．
令双曲线y=$\frac{3}{x}$中x=1，则y=$\frac{3}{1}$=3，
∴点A的坐标为（1，3）；
令双曲线y=$\frac{3}{x}$中y=$\frac{3}{2}$，则$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{x}$，解得：x=2，
∴点G的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）．
（2）令直线y=kx+b中y=$\frac{3}{2}$，则$\frac{3}{2}$=kx+b，解得：x=$\frac{\frac{3}{2}-b}{k}$，
即点D的坐标为（$\frac{\frac{3}{2}-b}{k}$，$\frac{3}{2}$），点E的坐标为（$\frac{\frac{3}{2}-b}{k}$，0）；
令直线y=kx+b中y=0，则0=kx+b，解得：x=-$\frac{b}{k}$，
即点C的坐标为（-$\frac{b}{k}$，0）．
∵CE=$\frac{\frac{3}{2}-b}{k}$-（-$\frac{b}{k}$）=2，
∴$\frac{3}{2}$=2k，解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+b，
∵点A（1，3）在直线AB上，
∴3=$\frac{3}{4}$+b，解得：b=$\frac{9}{4}$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、解一元一次方程以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）找出点G的纵坐标；（2）分别找出关于k和关于b的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，（2）稍显繁琐，初中阶段没有学到直线的斜率，故此处通过求点C、点E的坐标结合线段CE的长度来求出k值．