【题目】如图,已知PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点.C是⊙O上一个动点.且不与A,B重合.若∠PAC=α,∠ABC=β,则α与β的关系是_______.
【答案】或
【解析】
分点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况讨论,根据切线的性质得到∠OAC的度数,再根据圆周角定理得到∠AOC的度数,再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.
解:当点C在优弧AB上时,如图,
连接OA、OB、OC,
∵PA是⊙O的切线,
∴∠PAO=90°,
∴∠OAC=α-90°=∠OCA,
∵∠AOC=2∠ABC=2β,
∴2(α-90°)+2β=180°,
∴;
当点C在劣弧AB上时,如图,
∵PA是⊙O的切线,
∴∠PAO=90°,
∴∠OAC= 90°-α=∠OCA,
∵∠AOC=2∠ABC=2β,
∴2(90°-α)+2β=180°,
∴.
综上:α与β的关系是或.
故答案为:或.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点,求△BPC面积的最大值;
(3)若点D是y轴上的一点,且以B,C,D为顶点的三角形与相似,求点D的坐标;
(4)若点E为抛物线的顶点,点F(3,a)是该抛物线上的一点,在轴、轴上分别找点M、N,使四边形EFMN的周长最小,求出点M、N的坐标.
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【题目】如图,在锐角△ABC中,延长BC到点D,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E,F两点,连接AE、AF,在下列结论中:①OE=OF;②CE=CF;③若CE=12,CF=5,则OC的长为6;④当AO=CO时,四边形AECF是矩形,其中正确的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1,把正方形放在正六边形中,使OK边与AB边重合,如图所示:按下列步骤操作:将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转,使KM边与BC边重合,完成第一次旋转;再绕点C顺时针旋转,使MN边与CD边重合,完成第二次旋转……连续经过六次旋转.在旋转的过程中,当正方形和正六边形的边重合时,点B,M间的距离可能是( )
A. 0.5B. 0.7C. ﹣1D. ﹣1
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【题目】“一般的,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.——苏科版《数学》九年级(下册)P21”参考上述教材中的话,判断方程x2﹣2x=﹣2实数根的情况是 ( )
A. 有三个实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根
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【题目】如图,ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=12、BD=10、AB=m,那么m的取值范围是( )
A. 1<m<11 B. 2<m<22 C. 10<m<12 D. 5<m<6
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【题目】如图,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点,其中点的坐标为,点的坐标为.
(1)根据图象,直接写出满足的的取值范围;
(2)求这两个函数的表达式;
(3)点在线段上,且,求点的坐标.
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【题目】已知点P(1,3),Q(3,m)是函数图象上两点.
(1)求k值和m值.
(2)直线 与的图象交于A,直线与直线平行,与x轴交于点B,且与的图象交于点C.若线段OA,OB, BC及函数 图象在AC之间部分围成的区域内(不含边界)恰有2个整点,结合函数图象,直接写出b的取值范围.(注:横纵坐标均为整数的点称为整点)
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