Question

【题目】（1）如图1，求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等；

（2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点连接，若，则是 度．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）59°

【解析】

（1）设∠A和∠B的平分线交于点O,连接OC，作OG,OE,OF与各边垂直，根据角平分线的性质和判定判定定理可得；

（2）作PE⊥BC,PF⊥AC,PG⊥AB，根据角平分线性质和判定可得P在∠GAC的平分线上，根据临补角定义可得．

（1）证明：设∠A和∠B的平分线交于点O,连接OC，作OG,OE,OF与各边垂直，

∵AO平分∠BAC，
∴O到AB、AC的距离相等，即OG=OF
同理O到BA、BC的距离相等，即OG=OE
∴OG=OE=OF,O到CA、CB距离相等，
∴O在∠BCA的平分线上，
∴三角形三条边的三条角平分线相交于一点，这一点到三边的距离相等；

（2）解：作PE⊥BC,PF⊥AC,PG⊥AB

因为CP平分∠ACD

BP平分∠ABC

所以PB=PF=PG

所以P在∠GAC的平分线上，

所以∠PAC=∠GAC

=