Question

12．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）设抛物线为y=a（x-1）²+4，将点（2，3）代入即可解决问题．
（2）求出直线y=kx+t，再求出点A、D、C的坐标即可解决问题．

解答 解：（1）设抛物线为y=a（x-1）²+4，将点（2，3）代入得到a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）²+4，
∴y=-x²+2x+3．
（2）令y=0，-x²+2x+3=0，则x²-2x-3=0，解得x=-1或3，
∴点A坐标（-1，0），点B坐标（3，0），点C坐标（0，3），
∵直线y=kx+t经过C、M两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t=3}\\{k+t=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{t=3}\end{array}\right.$，
∴直线为y=x+3，
∴点D坐标（-3，0），
∴AD=2，CN=2，
∴CN=AD，CN∥AD，
∴四边形ADCN是平行四边形．

点评 本题考查二次函数的有关知识、待定系数法求函数解析式、平行四边形判定等知识，解题的关键是这些知识的灵活运用，属于中考常考题型．