Question

9．如图，在△ACD中，AD=9，CD=3$\sqrt{2}$，△ABC中，AB=AC．若∠CAB=60°，∠ADC=30°，在△ACD外作等边△ADD′
①求证：BD=CD′；
②求BD的长．

Answer 1

分析 ①只要证明△CAD′≌△BAD即可解决问题．
②首先证明∠CDD′=90°，利用勾股定理求出CD′，再利用全等三角形的性质即可解决问题．

解答 ①证明：∵△ADD′和△ABC都是等边三角形，
∴AD=AD′，AC=AB，∠DAD′=∠CAB=60°，
∴∠CAD′=∠BAD，
在△CAD′和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=BA}\\{∠CAD′=∠BAD}\\{AD′=AD}\end{array}\right.$，
∴△CAD′≌△BAD，
∴BD=CD′．

②解：∵△ADD′是等边三角形，
∴∠ADD′=60°，DD′=AD=9，
∵∠ADC=30°，
∴∠CDD′=90°，
∴CD′=$\sqrt{DD{′}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{11}$，
∵△CAD′≌△BAD，
∴BD=CD′=3$\sqrt{11}$．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．