Question

5．如图所示，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，依次连接矩形ABCD的各边中点构成第一个四边形A₁B₁C₁D₁，再依次连接四边形A₁B₁C₁D₁的各边中点又得到一个新的四边形A₂B₂C₂D₂…，依此类推，当n=2015时，四边形A_nB_nC_nD_n的周长为5×（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁰．

Answer 1

分析 根据菱形和矩形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得出规律求出即可．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=8，顺次连结矩形形ABCD各边中点，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是菱形，可得矩形对角线长为1，
∴A₁B₁=5，
∴四边形A₁B₁C₁D₁的周长是：5×4=20，
同理可得出：A₂D₂=8×$\frac{1}{2}$=4，C₂D₂=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴A₃D₃=$\frac{5}{2}$，
∴四边形A₃B₃C₃D₃的周长是：$\frac{5}{2}$×4=10，
四边形A₅B₅C₅D₅的周长是：$\frac{5}{2}$×$\frac{1}{2}$×4=10，
…
∴当n=2015时，四边形A_nB_nC_nD_n的周长为：5×（$\frac{1}{2}$）²⁰¹²×4=5×（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁰．
故答案为：5×（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁰．

点评 此题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得出边长变化规律是解题关键．