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    如图，在半径为1的⊙O中，AB为直径，C为弧AB的中点，D为弧CB的三等分点，且弧DB的长等于弧CD长的两倍，连接AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点），则AE的长为______．
    连接OC，过A作AM⊥EC于M，
    ∵CE是圆O的切线，
    ∴OC⊥CE，
    ∵AM⊥EC，
    ∴AM∥OC，
    ∵C为弧AB的中点，
    ∴∠A=∠B=45°，AC=BC，
    ∵OA=OB，
    ∴CO⊥AB，
    ∴MA⊥AB，
    ∴四边形AMCO是矩形，
    ∴AM=OC=1，
    ∵D为弧CB的三等分点，
    ∴∠CAD=
    1
    3
    ×45°=15°，
    ∵MA⊥AB，OA为半径，
    ∴AM为圆O的切线，
    ∴∠MAC=∠B=45°，
    ∴∠MAD=15°+45°=60°，
    ∴∠AEM=180°-60°-90°=30°，
    ∴AE=2AM=2．
    故答案为：2．
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，PA与⊙O相切于点A，PC经过⊙O的圆心且与该圆相交于两点B、C，若PA=4，PB=2，则sinP=______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．
    （1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
    （2）若⊙O的半径为5，求点A到CD所在直线的距离．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，CD平分∠ECB，交过点B的射线于D，交AB于F，且BC=BD．
    （1）求证：BD是⊙O的切线；
    （2）若AE=9，CE=12，求BF的长．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
    （1）求证：直线PA为⊙O的切线；
    （2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
    （3）若BC=6，tan∠F=
    1
    2
    ，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知l是⊙O的切线，⊙O的直径AB=10cm，那么点A、B到直线l的距离之和为______cm．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知BC是⊙O的直径，P是⊙O上一点，A是
    BP
    的中点，AD⊥BC于点D，BP与AD相交于点E．
    （1）当BC=6且∠ABC=60°时，求
    AB
    的长；
    （2）求证：AE=BE．
    （3）过A点作AM∥BP，求证：AM是⊙O的切线．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=
    		3
    ，则线段BC的长度等于______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠CAB=30°，在AB的延长线上取一点P，使得PB=
    1
    2
    AB，试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

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