Question

11．如图，一次函数y₁=k₁x+b的图象与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的图象交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，请求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）利用轴对称的性质作出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′得到点P，利用待定系数法求解即可．

解答 解：（1）∵反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的图象经过（2，1），
∴k₂=2，
∴反比例函数的解析式为：y₂=$\frac{2}{x}$，
∵一次函数y₁=k₁x+b的图象经过（2，1）和（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{1}+b=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y₁=-x+3；
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则点P即为所求，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
则点B的坐标为（1，2），
则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（1，-2），
设直线AB′的解析式为y=ax+c，
$\left\{\begin{array}{l}{a+c=-2}\\{2a+c=1}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
则直线AB′的解析式为y=3x-5，
3x-5=0，
解得，x=$\frac{5}{3}$，
∴点p的坐标为（$\frac{5}{3}$，0）．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、轴对称-最短路线问题，灵活运用待定系数法求出函数解析式、正确作出点B关于x轴的对称点B′是解题的关键．