Question

12．细心观察所示图形，认真分析各式，然后解答问题．
（$\sqrt{1}$）²+1=2，S₁=$\frac{\sqrt{1}}{2}$；
（$\sqrt{2}$）²+1=3，S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（$\sqrt{3}$）²+1=4，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
…
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）算出OA₂₀₁₄的长；
（3）求出S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀₀²的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知可得OA_n²，注意观察数据的变化，
（2）结合（1）中规律即可求出OAn²的值，即可得出结果，
（3）将前100个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．

解答 解：（1）由题意得：OA_n²=n，S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$；
（2）∵OA_n²=n，
∴OA_n=$\sqrt{n}$，
∴OA₂₀₁₄=$\sqrt{2014}$；
（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀₀²=$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$+…+$\frac{100}{4}$=$\frac{1+2+3+…+100}{4}$=$\frac{5050}{4}$=$\frac{2525}{2}$．

点评 本题主要考查勾股定理以及作图的知识点；解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识，根据题意得出规律，此题难度不大．