Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°．在同一平面内，将△ABC绕点C旋转到△A′B′C的位置，设旋转角为α（0°＜α＜180°）．若△A′B′C中恰有一条边与△ABC中的一条边平行，则旋转角α的可能的度数为

20°，70°，110°或160°

．

Answer 1

分析：根据旋转与平行线的性质，需要分类讨论：①当AB∥A′C时，α=20°；②当AC∥A′B′时，α=70°；③当AB∥B′C时，α=110°；④当AC∥A′B′时，α=160°．

解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，
∴∠B=70°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵△A′B′C是由△ABC绕点C旋转α得到的，
∴∠A′=∠A=70°，∠B′=∠B=20°；
①如①所示，当AB∥A′C时，∠A=∠ACA′=α=20°；
②如②所示，当BC∥A′B′时，∠B=∠B′CB=α=70°；
③如③所示，当AB∥B′C时，∠A=∠ACA′=20°，则α=∠ACB+∠ACA′=90°+20°=110°，即α=110°；
④如④所示，当AC∥A′B′时，∠B′=∠ACA′=70°，则α=∠ACB+∠ACA′=90°+70°=160°，即α=160°；
综上所述，旋转角α的可能的度数为20°，70°，110°或160°；
故答案是：20°，70°，110°或160°．

点评：本题考查了旋转的性质．解答该题时需要分类讨论，以防漏解．