Question

11．如图，在?ABCD中，∠ADB=90°，点E为AB边的中点，点F为CD边的中点．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若∠A=45°，求证：四边形DEBF是正方形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC=AB，求出DF∥BE，DF=BE，得出四边形DEBF是平行四边形，求出DE=BE，根据菱形的判定得出即可；
（2）求出AD=BD，根据等腰三角形的性质得出DE⊥AB，根据正方形的判定得出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵点E为AB边的中点，点F为CD边的中点，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵∠ADB=90°，点E为AB边的中点，
∴DE=BE=AE，
∴四边形DEBF是菱形；

（2）∵∠ADB=90°，∠A=45°，
∴∠A=∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∵E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
即∠DEB=90°，
∵四边形DEBF是菱形，
∴四边形DEBF是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．