分析 (1)根据自变量与函数值的对应关系,可得B,C点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)①根据平行四边形的对边平行且相等,可得PQ=4,根据函数值相等的点关于对称轴对称,可得P点坐标;
②根据相似三角形的判定与性质,可得PE的长,再根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得关于m的方程,根据解方程,可得m的值,可得P点坐标,根据待定系数法,可得答案.
解答 解:(1)y=-x+4当x=0时,y=4,C点坐标是(0,4),当y=0时,x=4,即B点坐标是(4,0),
将B、C点的坐标代入抛物线,得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$,
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+x+4;
(2)①如图1,
y=-$\frac{1}{2}$x2+x+4的对称轴是x=1,
∵以BP、BO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好在抛物线上,
∴PQ∥BO,PQ=BO=4.
∵P,Q都在抛物线上,
∴P,Q关于直线x=1对称,
∴P点的横坐标是3,当x=3时,y=-$\frac{1}{2}$x2+x+4=$\frac{5}{2}$,P点的坐标是(3,$\frac{5}{2}$);
②过P作PE∥OC交BC于点E,如图2,
∵PE∥OC,
∴△PDE∽△ODC,
∴$\frac{PD}{OD}$=$\frac{PE}{OC}$,$\frac{PD}{OD}$=$\frac{3}{8}$,OC=4,
∴PE=$\frac{3}{2}$.
设点E的坐标为(m,-m+4),P(m,-$\frac{1}{2}$m2+m+4),
∴-$\frac{1}{2}$m2+m+4-(-m+4)=$\frac{3}{2}$,化简,得
m2-4m+3=0,
解得m1=1,m2=3.
当m=1时,P点坐标是(1,$\frac{9}{2}$),将P点坐标代入解析式,得
k=$\frac{9}{2}$,
当m=3时,P点坐标是(3,$\frac{5}{2}$),将P点坐标代入解析式,得
k=$\frac{5}{6}$,
∴k=$\frac{9}{2}$或k=$\frac{5}{6}$.
点评 本题考查了二次函数综合题,利用待定系数法求函数解析式;利用平行四边的性质得出PQ的长是解题关键,又利用了函数的对称性;利用相似三角形的判定与性质得出关于m的方程是解题关键.
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
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A. | 130×108 | B. | 1.3×109 | C. | 1.3×1010 | D. | 1.3×1011 |
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A. | $\sqrt{6}$ | B. | $\sqrt{32}$ | C. | $\sqrt{18}$ | D. | $\sqrt{75}$ |
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