Question

如图，抛物线y=-x²+mx过点A（4，0），O为坐标原点，Q是抛物线的顶点．
（1）求m的值；
（2）点P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PH⊥x轴，H为垂足．有一个同学说：“在x轴上方抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点P运动至点Q时，折线P-H-O的长度最长”，请你用所学知识判断：这个同学的说法是否正确．

Answer 1

分析：（1）∵点A在抛物线上，∴将点A的坐标代入解析式即可求得抛物线的解析式；
（2）设P的坐标为（x，y），求得PH=-x²+4x，OH=x，列得二次函数，求其最大值即可．

解答：解：（1）∵点A（4，0）在抛物线上
∴-4²+4m=0
∴m=4
∴y=-x²+4x；

（2）设点P的坐标为（x，-x²+4x）
y=-x²+4x
∴PH=-x²+4x，OH=x
y=-x²+4x
∴折线P-H-O的长度=PH+OH
y=-x²+4x+x
=-x²+5x
=-(x-

5

2

)2+

25

4

∴当x=2.5时，折线P-H-O的长度最长为

25

4

．
∵点Q的横坐标为-

4

2×(-1)

=2，
∴这个同学的说法不正确．

点评：此题考查了待定系数法求解析式，要注意求最大值问题可以借助于二次函数．