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    11．已知△ABC为任意三角形．
    （1）如图1，分别以AB、AC为边，向形外作两个等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点O，试证明：OA+OC=OE．
    （2）如图2，分别以边AB、AC为底，向形外作两个等腰直角三角形△ABD、△ACE，取BC的中点F，连接DF，EF，试判断DF与EF的数量关系和位置关系，并说明理由．
    （3）如图3，分别以边AB、AC、BC为底，向形外作三个顶角为120°等腰三角形△ABD、△ACE、△BCF，试判断△DEF的形状，并说明理由；
    （4）如图4，在边上向形外作△ABD、△ACE、△BCF，使得∠ABD=∠ACE=45°，∠BAD=∠CAE=30°，∠FBC=∠FCB=15°，试判断△DEF的形状，并说明理由．

    分析 （1）如图1，在DC上取一点F，使DF=OB，连接AF，证明△DAC≌△BAE得DC=BE，则FC=OE，再证明△ADF≌△ABO和△AFC≌△AOE，得△AFO为等边三角形，则AO=OF，从而得出结论；
    （2）作辅助线构建等腰直角三角形和全等三角形，根据（1）先证明CM=BN和CM⊥BN，再利用三角形的中位线可得DF∥MC，DF=MC，EF∥BN，EF=BN，最后证明四边形PFQO是矩形，得出结论；
    （3）向外做等腰三角形，构建如图1类似的全等三角形，证明△ABJ≌△AIC，得BJ=CI，证明△ICN≌△JBM，得IN=JM，由$\frac{BD}{BI}=\frac{BF}{BN}=\frac{DF}{IN}$=$\frac{1}{3}$，则$\frac{EF}{JM}=\frac{1}{3}$得DF=EF，从而得出△DEF是等边三角形；
    （4））△DEF为等腰直角三角形，理由是：作辅助线构建等腰三角形，与（3）同理，得：$\frac{EF}{OM}$=$\frac{DF}{PN}$，EF=DF，再同理得矩形FGHQ，则得出结论．

    解答 证明：（1）如图1，在DC上取一点F，使DF=OB，连接AF，
    ∵△ABD、△ACE都是等边三角形，
    ∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，
    ∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
    即∠DAC=∠BAE，
    ∴△DAC≌△BAE，
    ∴∠CDA=∠ABE，CD=BE，
    ∴△ADF≌△ABO，
    ∴AF=AO，
    ∵CD=BE，DF=OB，
    ∴CF=OE，
    ∴△AFC≌△AOE，
    ∴∠FAC=∠OAE，
    ∴∠FAO+∠OAC=∠EAC+∠OAC，
    ∴∠FAO=∠EAC=60°，
    ∴△AFO为等边三角形，
    ∴AO=OF，
    ∵FC=OE，
    ∴FO+OC=OE，
    ∴OA+OC=OE；
    （2）如图2，DF=EF且DF⊥EF，理由是：
    延长BD至M，使BD=DM，延长CE至N，使CE=EN，连接CM、AM、AN、BN，
    ∵△ADB、△ACE是等腰直角三角形，
    ∴AD=BD=DM，AE=EC=EN，
    ∴△ADM、△AEN也是等腰直角三角形，且AM=AB，AC=AN，
    ∴∠MAB=∠MAD+∠BAD=45°+45°=90°，
    同理∠CAN=90°，
    ∴∠MAB+∠BAC=∠CAN+∠BAC，
    即∠MAC=∠BAN，
    ∴△MAC≌△BAN，
    ∴MC=BN，∠CMA=∠ABN，
    在△AMG中，∠AMG+∠AGM=90°，
    ∵∠AGM=∠CGB，
    ∴∠ABN+∠CGB=90°，
    ∴∠GOB=90°，
    ∴MC⊥BN，
    ∵D是BM的中点，F是BC的中点，
    ∴DF∥MC，DF=MC，
    同理得：EF∥BN，EF=BN，
    ∴DF=EF，四边形PFQO是平行四边形，
    ∵∠POQ=90°，
    ∴?PFQO是矩形，
    ∴∠DFE=90°，
    ∴DF⊥EF；
    （3）如图3，△DEF是等边三角形，理由是：
    过A作AD的垂线交BD延长线于I，过A作AE的垂线交CE延长线于J，
    过B作BF的垂线交CF延长线于M，过C作CF的垂线交BF延长线于N，
    连接CI、BJ、IN、JM，
    得△ABI、△ACJ、△BCN、△MBC为顶角为120°的等腰三角形，
    设BD=AD=x，则ID=2x，
    ∴$\frac{BD}{BI}$=$\frac{1}{3}$，
    同理$\frac{BF}{BN}=\frac{CF}{CM}=\frac{CE}{CJ}=\frac{1}{3}$，
    ∵∠IBN=∠DBF，
    ∴△DBF∽△IBN，
    ∴$\frac{DF}{IN}$=$\frac{BF}{BN}$=$\frac{1}{3}$，
    同理$\frac{EF}{JM}$=$\frac{1}{3}$，
    ∴$\frac{DF}{IN}=\frac{EF}{JM}$，
    ∵∠CAJ=∠BAI=90°+30°=120°，
    ∴∠CAI=∠BAJ，
    ∵AB=AI，AC=AJ，
    ∴△ABJ≌△AIC，
    ∴BJ=CI，
    ∵△BCN、△MBC是等腰三角形，
    ∴BC=CN，BC=BM，
    ∴BM=CN，
    ∵∠JBA=∠AIC，
    根据三角形内角和定理得：∠JBC+∠ICB=120°，
    ∵∠MBC=∠BCN=120°，
    ∴∠JBC+∠ICB+∠MBC+∠BCN=360°，
    ∴∠JBM+∠ICB+∠BCN=360°，
    ∵∠ICN+∠ICB+∠BCN=360°，
    ∴∠JBM=∠ICN，
    ∴△ICN≌△JBM，
    ∴IN=JM，
    ∴DF=EF，
    同理DE=DF，
    ∴DF=EF=DE，
    ∴△DEF是等边三角形；
    （4）△DEF为等腰直角三角形，理由是：
    如图4，分别过A、B、C作等腰△ABP、△ACO、△BMF、△FCN，
    连接PC、BO，
    ∵AB=AP，∠ABD=45°，
    同理∠CAO=90°，
    ∴∠PAC=90°+∠BAC，∠BA0=90°+∠BAC，
    ∴∠PAC=∠BAO，
    ∵AO=AO，
    ∴△BAO≌△PAC，
    ∴BO=PC，
    如图5，连接PN、OM，由（3）同理得：PC⊥BO，
    ∵BF=BM，FC=CN，
    ∴BM=CN，
    ∵∠BMC=30°，∠BCM=15°，
    ∴∠MBC=135°，
    同理∠BCN=135°，
    ∴∠OBC+∠MBC+∠BCN+∠PCB=360°，
    ∴∠OBM+∠BCN+∠PCB=360°，
    ∵∠PCN+∠BCN+∠PCB=360°，
    ∴∠OBM=∠PCN，
    ∴△OBM≌△PCN，
    ∴OM=PN，
    如图6，过E作EQ⊥AC于Q，
    设EQ=x，则CQ=x，AE=2x，
    由勾股定理得：AQ=$\sqrt{3}$x，CE=$\sqrt{2}$x，
    ∴AC=AO=（1+$\sqrt{3}$）x，
    ∵△AOC是等腰直角三角形，
    ∴OC=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$（1+$\sqrt{3}$）x，
    ∴$\frac{CE}{CO}$=$\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2}（1+\sqrt{3}）x}$=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$，
    如图7，过B作BH⊥MC于H，
    ∵∠HFB=30°，
    设BH=x，则FH=$\sqrt{3}$x，BF=FC=2x，
    ∴MH=HF=$\sqrt{3}$x，
    ∴$\frac{CF}{CM}$=$\frac{2x}{2x+2\sqrt{3}x}$=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$，
    ∴$\frac{CE}{CO}=\frac{CF}{CM}$，
    由（3）同理得：$\frac{EF}{OM}$=$\frac{DF}{PN}$，
    ∴EF=DF，
    同理得：四边形FGHQ为平行四边形，
    ∵∠QHG=90°，
    ∴?FGHQ为矩形，
    ∴∠DFE=90°，
    ∴△DEF为等腰直角三角形．

    点评 本题是三角形的综合题，图形较复杂，综合性较强；都运用了向外作等腰三角形的辅助线作法，构建全等三角形，再利用相似三角形的判定的性质得出边相等的结论，从而可以得出特殊的三角形．

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     2 16+0.4
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     …
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    （1）当点M落在BC上时，求线段PQ的长．
    （2）当点C落在平行四边形PQMN的对角线上时，求t的值．
    （3）设平行四边形PQMN与矩形ABCD重合部分面积为S，当点P在线段AE上运动时，求S与t的函数关系式．
    （4）直接写出在点P、Q运动的过程中，整个图形中形成的三角形存在全等三角形时t的值（不添加任何辅助线）．

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    ①AB与AC互相垂直；
    ②AD与AC互相垂直；
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    A．2B．3C．4D．5

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