Question

12．如图，直线l₁，l₂交于点C，直线l₁与x轴交于A；直线l₂与x轴交于B（3，0），与y轴交于D（0，3），已知直线l₁的函数解析式为y=2x+2．
（1）求直线l₂的解析式和交点C的坐标．
（2）将直线l₁向下平移a个单位使之经过B，与y轴交于E．
①求△CBE的面积；
②若点Q为y轴上一动点，当△EBQ为等腰三角形时，求出Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线l₂的解析式为y=kx+b，把B（3，0），D（0，3）代入转化为解方程组即可，再构建方程组求点C的坐标．
（2）①设平移后的直线的解析式为y=2x+m，利用待定系数法求出m，由AC∥BE，推出S_△CBE=S_△ABE，由此即可解决问题．由题意BE=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，当Q₁E=BE时，Q₁（0，-6-3$\sqrt{5}$），当EQ₂=Q₂B时，设EQ₂=Q₂B=x，在Rt△OBQ₂ 中，根据OB²+OQ₂²=BQ₂²，可得3²+（6-x）²=x²，求出可得Q₂坐标，当EB=EQ₃时，Q₃（0，3$\sqrt{5}$-6），当BE=BQ₄时，Q₄（6，0）．

解答 解：（1）设直线l₂的解析式为y=kx+b，把B（3，0），D（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的解析式为y=-x+3．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

（2）①设平移后的直线的解析式为y=2x+m，
∵经过点B（3，0），
∴6+m=0，
∴m=-6，
∴平移后的直线的解析式为y=2x-6，
∴点E的坐标为（0，-6），
∵AC∥BE，
∴S_△CBE=S_△ABE=$\frac{1}{2}$×4×6=12．
②∵E（0，-6），B（3，0），
∴BE=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
当Q₁E=BE时，Q₁（0，-6-3$\sqrt{5}$），
当EQ₂=Q₂B时，设EQ₂=Q₂B=x，
在Rt△OBQ₂ 中，∵OB²+OQ₂²=BQ₂²，
∴3²+（6-x）²=x²，
∴x=$\frac{15}{4}$，
∴OQ₂=6-$\frac{15}{4}$=$\frac{9}{4}$，
∴Q₂（0，-$\frac{9}{4}$），
当EB=EQ₃时，Q₃（0，3$\sqrt{5}$-6），
当BE=BQ₄时，Q₄（6，0）．
综上所述，满足条件的点P（0，-6-3$\sqrt{5}$）或（0，-$\frac{9}{4}$）或（0，3$\sqrt{5}$-6）或（0，6）．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．