Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：PC²=PE•PF；
（2）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB的长．

Answer 1

分析：（1）可由相似三角形△AEP∽△FAP对应边成比例进行求解，也可由平行线分线段成比例定理进行求解，两者均可；
（2）由题中已知线段的长度，结合（1）中的结论，再由平行线分线段成比例，即可得出结论．

解答：（1）证明：
法1：∵四边形ABCD是菱形，∴DC=DA，∠ADP=∠CDP，DC∥AB，
又∵DP是公共边，∴△DAP≌△DCP，
∴PA=PC，∠DAP=∠DCP，
由DC∥FA得，∠F=∠DCP，
∴∠F=∠DAP，又∵∠EPA=∠APF
∴△AEP∽△FAP，
∴PA²=PE•PF
∴PC²=PE•PF．
法2：∵四边形ABCD是菱形
∴DC∥AB，AD∥BC（1分）
∴

PC

PF

=

DP

PB

，

DP

PB

=

PE

PC

（4分）
∴

PC

PF

=

PE

PC

∴PC²=PE•PF．
（2）解：∵PE=2，EF=6，∴PF=8，
∵PC²=PE•PF，∴PC²=16∴PC=4，
∵DC∥FB
∴

FB

DC

=

PF

PC

，
又DC=8，∴

FB

8

=

8

4

∴FB=16．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及菱形的性质和相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．