Question

如图，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5（S-1），直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S₁，S₂，S₃满足关系式S₃=

1

3

S₁=

1

3

S₂，求S．

Answer 1

分析：观察图形可以得到四个圆之间的位置关系，根据重叠部分的面积可以列出一个方程，然后与题目中S₁，S₂，S₃的关系联立方程组，解方程组得到S的值．

解答：解：由题设可得：

5(S-1)=4S-S1-S2- S3 S1=S2=3S3

∴S₃=

5-S

7

．①
又2S-

1

2

S₁-S₂-

1

2

S₃=8，
即：2S-5S₃=8  ②
把①代入②消去S₃得：S=

81

19

．

点评：本题考查的是圆与圆的位置关系，根据题意结合图形列方程组，用代入消元法解方程组求出S的值．