如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=4，点E从点A出发，沿A→D方向在线段AD上运动，点F从点D出发，沿D→A方向在线段DA上运动，点E、F速度都是每秒2个长度单位，E、F两点同时出发，且当E点运动到D点时两点都停止运动，设运动时间是t（秒）．射线CE交射线BA于点M，射线BF交射线CD于点N，射线BF、CE相交于点O．分析 （1）计算出当t=2时，AF的长度，结合矩形的性质可得出△ABF是等腰直角三角形，从而得出∠OBC=∠ABF=45°，同理可得出∠OCB=45°，由此即可得出△BOC是等腰直角三角形；
（2）根据运动的过程判断当0＜t＜2时，0＜EF＜8，过点O作A′B′⊥AD于点A′，交BC于点B′，根据平行的性质可得出△BOC∽△FOE，根据相似三角形的性质即可求出OB′、OA′的长度，再结合三角形的面积公式即可得出y与t之间的函数关系式；
（3）根据点E的运动过程可得出t的取值范围，再分两种情况考虑$m＜\frac{2}{3}$，分别得出关于t的不等式，解不等式即可得出结论．
解答 解：（1）当t=2时，AF=AD-DF=8-2×2=4，则AB=AF，
又∵四边形ABCD是矩形，即∠BAD=90°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠ABF=45°，
∴∠OBC=45°，
同理，∠OCB=45°，
∴△BOC是等腰直角三角形；
（2）当t=2时，AE=2×2=4，DF=2×2=4，
∵AD=4，
∴当t=2时点E、F重合；
当t=0时，AE=2×0=0，DF=2×0=0，
此时点E和点A重合、点F和点D重合，
∴当t=0时，EF=AD=8．
∴当0＜t＜2时，0＜EF＜8．
过点O作A′B′⊥AD于点A′，交BC于点B′，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴△BOC∽△FOE．
∵EF=AD-AE-DF=8-2t-2t=8-4t，
∴$\frac{OB′}{OA′}=\frac{BC}{EF}$=$\frac{8}{8-4t}$，
∵OA′+OB′=AB=4，
∴OB′=$\frac{8}{4-t}$，OA′=$\frac{8-4t}{4-t}$，
∴y=S△BOC-S△EOF=$\frac{1}{2}$BC•OB′-$\frac{1}{2}$EF•OA′=8t（0＜t＜2）．
（3）∵点E从点A出发，沿A→D方向在线段AD上运动，且当E点运动到D点时停止运动，
∴0≤t≤$\frac{8}{2}$=4．
m＜$\frac{2}{3}$分两种情况：
①当$\frac{AE}{AB}$＜$\frac{2}{3}$时，即$\frac{2t}{4}$＜$\frac{2}{3}$，
解得：0≤t＜$\frac{4}{3}$；
②当$\frac{AB}{AE}$＜$\frac{2}{3}$时，即$\frac{4}{2t}$＜$\frac{2}{3}$，
解得：3＜t≤4．
综上可知：$m＜\frac{2}{3}$时，时间t的取值范围为0≤t＜$\frac{4}{3}$或3＜t≤4．
点评 本题考查了等腰直角三角形的判定、相似三角形的判定及性质、三角形的面积公式以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）求出∠OBC=∠OCB=45°；（2）利用相似三角形的性质找出OB′、OA′的长度；（3）分两种情况讨论．本题属于中档题，有点难度，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质求出两三角形高的长度，再根据三角形的面积找出函数关系式是关键．
应用题天天练四川大学出版社系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | -2 | B． | 2 | C． | -6 | D． | 6 |
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如图，已知AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，说明△ABD与△ACE全等的理由．
如图?ABCD中，AC平分∠DAB，AB=5cm，AC=8cm，则?ABCD的周长为20cm，面积为24cm2．