Question

如图,方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF=4．求：
cos∠F的值；BE的长．

Answer 1

cos∠F的值；
解：(1)连结OE.∵DF切半圆于E，∴∠OEF=90°，在正方形ABCD中，AB=AD，
∠DAF=90°，
∴∠OEF=∠DAF.又∵∠F为公共角，
∴△OEF∽△DAF. ………………2分
∴.即AF="2EF." ………………3分
∵DF切半圆O于E，∴EF²=FB·FA=BF·2EF，∴EF=2BF=8，AF=2EF=16.∴AB=AF－BF=12，FO=AB+BF=×12+4=10.在Rt△OEF中，
cos∠F=.…………………………5分
(2). BE的长．
连结AE，∵DF切半圆于E，∴∠EAF=∠BEF.∵∠F=∠F，∴△BEF∽△EAF.
∴.   ……………………………6分
设BE=k(k＞0)，则AE=2k，∵AB为半圆O的直径，∴∠AEB=90°.
在Rt△AEB中，AE²+BE²=AB²，（2k）²+k²=12²,∴BE=k=. ……………………8分

略