Question

四边形的四边顺次为a、b、c、d，且满足a²+b²+c²+d²=2（ab+cd），则这个四边形一定是（　　）

A．平行四边形

B．两组对角分别相等的四边形

C．对角线互相垂直的四边形

D．对角线长相等的四边形

Answer 1

分析：首先把a²+b²+c²+d²=2ab+2cd变形为a²+b²+c²+d²-2ab-2cd=0，然后利用完全平方公式分解因式和非负数的性质即可求解．

解答：解：∵a²+b²+c²+d²=2ab+2cd，
∴a²+b²+c²+d²-2ab-2cd=0，
∴（a-b）²+（c-d）²=0，
∴a-b=0且c-d=0，
∴a=b且c=d．
如图，点A在BD的垂直平分线上，点C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分线BD，
∴四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形．
故选C．

点评：此题主要考查了因式分解的应用，解题时首先利用因式分解把等式变形，然后利用非负数的性质即可加减问题．