如图.△ABC中.∠BAC=45°.AD⊥BC于D.BD=2.AD=6.求CD的长.小明同学灵活运用轴对称知识.将图形进行翻折变换.巧妙地解答了此题．请按照小明的思路.探究并解答下列问题:(1)分别以AB.AC为对称轴.画出△ABD和△ACD的轴对称图形.D点的对称点分别为E.F.延长EB.FC交于M点.判断四边形AEMF的形状.并说明理由,(2)设CD=x.利用勾� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，AD=6，求CD的长，小明同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小明的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD和△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E、F，延长EB，FC交于M点，判断四边形AEMF的形状，并说明理由；
（2）设CD=x，利用勾股定理，在△BCM中建立关于x的方程模型，并求出x的值．

分析（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEMF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型4²+（6-x）²=（2+x）²，求出CD即可．

解答解：（1）四边形AEMF是正方形，
理由：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
∴四边形AEMF是矩形，
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF．
∴矩形AEMF是正方形．

（2）设CD=x，则FC=x．
∵BD=2，EM=FM=6，
∴BM=6-2=4，CM=6-x，BC=2+x，
在Rt△BMC中，BM²+CM²=BC²，
∴4²+（6-x）²=（2+x）²．
解得x=3，
所以CD=x=3．

点评本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．

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