Question

已知实数a≠b，且满足（a+1）²=3-3（a+1），3（b+1）=3-（b+1）²．则的值为________．

Answer 1

-23
分析：根据已知条件“（a+1）²=3-3（a+1），3（b+1）=3-（b+1）²”求出a+1、b+1是关于x的方程x²+3x-3=0的两个根，
然后再根据根与系数的关系求得a+b=-5，ab=1；最后将其代入化简后的二次根式并求值即可．
解答：∵（a+1）²=3-3（a+1），3（b+1）=3-（b+1）²．
∴（a+1）²+3（a+1）-3=0，（b+1）²+3（b+1）-3=0，
显然，a+1、b+1是关于x的方程x²+3x-3=0的两个根，
∴x₁+x₂=-3，即a+1+b+1=-3，
∴a+b=-5；
x₁•x₂=-3，即（a+1）（b+1）=ab+（a+b）+1=-3，
∴ab=1，
∴a=，b=；
∴，
=b|b|+a|a|，
=-[（b+a）²-2ab]，
=-25+2，
=-23；
故答案是：-23．
点评：本题考查了根与系数的关系、二次根式的化简求值．解答此题时，如果先根据已知条件求得a、b的值，然后将其代入所求的代数式求值，那计算过程是相当的繁琐．根据已知条件“（a+1）²=3-3（a+1），3（b+1）=3-（b+1）²”可以知，“（a+1）²+3（a+1）-3=0，（b+1）²+3（b+1）-3=0”，仔细观察这两个等式可知：a+1、b+1是关于x的方程x²+3x-3=0的两个根．然后再根据一元二次方程的根与系数的关系求得a与b的数量关系，并将其代入所求的代数式求值．这样，计算会变得简单多了．