Question

19．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2$\sqrt{2}$的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．
（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．
（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应角相等得∠AGD=∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，利用等角的余角相等得到∠DHE=90°，利用垂直的定义即可得DG⊥BE；
（2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应边相等得到DG=BE，如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，在直角三角形AMD中，求出AM的长，即为DM的长，根据勾股定理求出GM的长，进而确定出DG的长，即为BE的长；
（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△BDH的高最大，即可确定出面积的最大值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，
∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，
在△ADG和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴∠AGD=∠AEB，
如图1所示，延长EB交DG于点H，
在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°，
∴∠AEB+∠ADG=90°，
在△EDH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，
∴∠DHE=90°，
则DG⊥BE；
（2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，
∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE，
在△ADG和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴DG=BE，
如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠MDA=45°，
在Rt△AMD中，∠MDA=45°，
∴cos45°=$\frac{DM}{AD}$，
∵AD=2，
∴DM=AM=$\sqrt{2}$，
在Rt△AMG中，根据勾股定理得：GM=$\sqrt{A{G}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∵DG=DM+GM=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴BE=DG=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$；
（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：
对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；
对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，
则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6．

点评 此题属于几何变换综合题，涉及的知识有：正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．