已知:∠MON=36°.OE平分∠MON.点A.B分别是射线OM.OE.上的动点.点D是线段OB上的动点.连接AD并延长交射线ON于点C.设∠OAC=x.(1)如图1.若AB∥ON.则①∠ABO的度数是18°,②当∠BAD=∠ABD时.x=126°,当∠BAD=∠BDA时.x=63°,(2)如图2.若AB⊥OM.则是否存在这样的x的值.使得△ABD中有两个相等的角?若存在.求出x的值,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．已知：∠MON=36°，OE平分∠MON，点A，B分别是射线OM，OE，上的动点（A，B不与点O重合），点D是线段OB上的动点，连接AD并延长交射线ON于点C，设∠OAC=x，
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是18°；
②当∠BAD=∠ABD时，x=126°；
当∠BAD=∠BDA时，x=63°；
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ABD中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠ABO的度数；根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；
（2）分两种情况进行讨论：AC在AB左侧，AC在AB右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．

解答解：（1）如图1，①∵∠MON=36°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=18°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=18°；
②当∠BAD=∠ABD时，∠BAD=18°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180°-18°×3=126°；
③当∠BAD=∠BDA时，∵∠ABO=18°，
∴∠BAD=81°，∠AOB=18°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180°-18°-18°-81°=63°，
故答案为：①18°；②126°；③63°；

（2）如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角．
∵AB⊥OM，∠MON=36°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=18°，∠ABO=72°，
①当AC在AB左侧时：
若∠BAD=∠ABD=72°，则∠OAC=90°-72°=18°；
若∠BAD=∠BDA=（180°-72°）÷2=54°，则∠OAC=90°-54°=36°；
若∠ADB=∠ABD=72°，则∠BAD=36°，故∠OAC=90°-36°=54°；
②当AC在AB右侧时：
∵∠ABE=108°，且三角形的内角和为180°，
∴只有∠BAD=∠BDA=（180°-108°）÷2=36°，则∠OAC=90°+36°=126°．
综上所述，当x=18、36、54、126时，△ADB中有两个相等的角．

点评本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．

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