Question

5．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：
（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式$\frac{PN}{AB}=\frac{OP}{OA}=\frac{ON}{OB}$，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；
（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；
（3）分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；
②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．

解答 解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
作NP⊥OA于P，如图1所示：
则NP∥AB，
∴△OPN∽△OAB，
∴$\frac{PN}{AB}=\frac{OP}{OA}=\frac{ON}{OB}$，
即$\frac{PN}{3}=\frac{OP}{4}=\frac{1.25x}{5}$，
解得：OP=x，PN=$\frac{3}{4}x$，
∴点N的坐标是（x，$\frac{3}{4}x$）；
（2）在△OMN中，OM=4-x，OM边上的高PN=$\frac{3}{4}x$，
∴S=$\frac{1}{2}$OM•PN=$\frac{1}{2}$（4-x）•$\frac{3}{4}x$=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x，
∴S与x之间的函数表达式为S=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x（0＜x＜4），
配方得：S=-$\frac{3}{8}$（x-2）²+$\frac{3}{2}$，
∵-$\frac{3}{8}$＜0，
∴S有最大值，
当x=2时，S有最大值，最大值是$\frac{3}{2}$；
（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：
分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：
则MN∥AB，
此时OM=4-x，ON=1.25x，
∵MN∥AB，
∴△OMN∽△OAB，
∴$\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}$，
即$\frac{4-x}{4}=\frac{1.25x}{5}$，
解得：x=2；
②若∠ONM=90°，如图3所示：
则∠ONM=∠OAB，
此时OM=4-x，ON=1.25x，
∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，
∴△OMN∽△OBA，
∴$\frac{OM}{OB}=\frac{ON}{OA}$，
即$\frac{4-x}{5}=\frac{1.25x}{4}$，
解得：x=$\frac{64}{41}$；
综上所述：x的值是2秒或$\frac{64}{41}$秒．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果．