Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3， y=﹣x2﹣2x+3；（2）（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）

【解析】

试题分析：（1）首先由题意根据抛物线的对称性求得点B的坐标，然后利用交点式，求得抛物线的解析式；再利用待定系数法求得直线的解析式；

（2）首先利用勾股定理求得BC，PB，PC的长，然后分别从点B为直角顶点、点C为直角顶点、点P为直角顶点去分析求解即可求得答案．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），抛物线与x轴的另一交点为B，

∴B的坐标为：（﹣3，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x+3），

把C（0，3）代入，﹣3a=3，

解得：a=﹣1，

∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x2﹣2x+3；

把B（﹣3，0），C（0，3）代入y=mx+n得：

，

解得：，

∴直线y=mx+n的解析式为：y=x+3；

（2）设P（﹣1，t），

又∵B（﹣3，0），C（0，3），

∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，

①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2，

即：18+4+t2=t2﹣6t+10，解之得：t=﹣2；

②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2，

即：18+t2﹣6t+10=4+t2，解之得：t=4，

③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，

即：4+t2+t2﹣6t+10=18，

解之得：t1=，t2=；

综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．