Question

已知：n，k均为自然数，且满足不等式

7

13

＜

n

n+k

＜

6

11

，若对于某一给定的自然数n，只有惟一的一个自然数k使不等式成立，则所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数的和是

 

．

Answer 1

考点：不等式的性质

专题：

分析：由题意可得：

7

13

＜

n

n+k

＜

6

11

，整理得：

5

6

＜

k

n

＜

6

7

①，也可得

5n

6

＜k＜

6n

7

②，根据对于某一给定的自然数n，k的值只有一个，可得出n的最大值，再由①可得n＞7，然后依次试验n=8、9、10…，即可得出n的最小值．

解答：解：∵n，k均为自然数，

7

13

＜

n

n+k

＜

6

11

，
∴

11

6

＜

n+k

n

＜

13

7

，
∴

5

6

＜

k

n

＜

6

7

①，
∴

5n

6

＜k＜

6n

7

②，
∵k为自然数，且对于给定n来说k的值只有一个，
∴

6

7

n-

5

6

n≤2，即

n

42

≤2，
∴n≤84，
当n=84时，代入②有：70＜k＜72，只能取得唯一一个k=71，
∴n的最大值为84；
又根据①式，

5

6

＜

k

n

＜

6

7

，显然n＞7，
当n取8时，6

2

3

＜k＜6

6

7

，没有符合条件的整数k；
当n取9时，7

1

2

＜k＜7

5

7

，没有符合条件的整数k；
当n取10时，8

1

3

＜k＜8

4

7

，没有符合条件的整数k；
当n取11时，9

1

6

＜k＜9

3

7

，没有符合条件的整数k；
当n取12时，10＜k＜10

2

7

，没有符合条件的整数k；
当n取13时，10

5

6

＜k＜11

1

7

，k=11，
∴n=13为符合条件的最小值．
综上可得：n的最大值为84，n的最小值为13．
则84+13=97．
故答案是：97．

点评：本题考查了函数的最值问题，解答此类提竞赛类题目，关键是灵活变通，本题的灵活之处在与由

7

13

＜

n

n+k

＜

6

11

，得出

11

6

＜

n+k

n

＜

13

7

，难度较大．