Question

4．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．
（1）求证：EM∥NG；
（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质以及角平分线得到定义，即可得出∠MEN=90°，再根据NG⊥EN，即可得到∠MEN+∠ENH=180°，进而得到EM∥NG；
（2）先设∠HEG=x，则∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90°-2x，根据EP平分∠FEH，可得∠FEH=2（∠PEG+x），再根据∠FEH+∠HEN=180°，可得方程2（∠PEG+x）+90°-2x=180°，进而解得∠PEG．

解答 解：（1）∵AB∥CD，
∴∠AMN+∠CNM=180°，
∵ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，
∴∠EMN=$\frac{1}{2}$∠AMN，∠ENM=$\frac{1}{2}$∠MNC，
∴∠EMN+∠ENM=90°，即∠MEN=90°，
又∵NG⊥EN，
∴∠MEN+∠ENH=180°，
∴EM∥NG；

（2）设∠HEG=x，则∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90°-2x，
∵EP平分∠FEH，
∴∠FEH=2∠PEH=2（∠PEG+x），
又∵∠FEH+∠HEN=180°，
∴2（∠PEG+x）+90°-2x=180°，
解得∠PEG=45°．

点评 本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行．