Question

如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥BC，以AD为直径做⊙O．
（1）如图①，若CD=1，AB=BC=4，
①求证：BC与⊙O相切；
②BC与⊙O的切点为E，连结AE、DE，求证：△ABE∽△ECD；
（2）如图②，若CD=1，AB=2，BC=4，易证此时BC与⊙O交于两点，记为E、F，此时△ABE∽△ECD与△ABF∽△FCD都成立，请问线段BC上是否存在第三点（记为G），使以A、B、G三点为顶点的三角形与△GCD相似？若存在，求BG的长度；若不存在，请说明理由；
（3）若DC=1，AB=2，BC=m，请问当线段BC上存在唯一一个点（记做P），使以A、B、P三点为顶点的三角形与△PCD相似，求m的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）
①求证相切的常规思路就是过圆心O做BC的垂线，然后讨论这个垂线段是否等于圆的半径即可．
②相似的求证是常规题．只要证明两对角相等即可．图中∠B，∠C都为90°，又∠AED=90°，则∠AEB+∠DEC=90°，即互为余角．利用同角的余角相等可证另外一对角相等，相似得证．
（2）△ABE∽△ECD与△ABF∽△FCD，都是利用②中的结论得证的．那么是不是存在第三个点也使三角形有如此的相似呢？观察示图可发现，这两个点E、F都在圆上，即所成的圆周角都为90°，类似的点已没有了．可是如果我们换个思路，不证明△ABG∽△GCD，而证明△GBA∽△GCD，所利用的思路就是找到一点G，使得

BG

CG

=

AB

DC

即可．这个显然是存在的．
（3）由上问结论可知，使以A、B、P三点为顶点的三角形与△PCD相似的点P存在两种情形，一、BC与⊙O的交点，二、找到一点P，使得

BP

CP

=

AB

DC

．所以要想只存在唯一一点，那么就使⊙O与BC相离．另注意还要注意相切时，切点是否与成比例的点重合．因为中位线的性质，所以切点必为BC中点，此时比例记为1：1，而AB显然不能等于CD，故相切时两个点不重合，故舍去．

解答：（1）
证明：
①过点O作OE'⊥BC于E'，过点D作DH⊥AB于H

∵AB∥CD，AB⊥BC
∴∠B=90°，∠C=90°
∵∠OE′C=90°
∴OE′∥CD
∴AB∥OE′∥CD
∵AO=DO
∴OE′为梯形ABCD的中位线
∴OE′=

1

2

(AB+CD)=

5

2

即点O到BC的距离为

5

2

∵∠DHC=90°
∴四边形HBCD为矩形
∴BH=CD=1，HD=BC=4
在Rt△ADH中
∵AH=AB-BH=3，HD=4
∴AD=5
∴⊙O的半径为

5

2

，即与点O到BC的距离相等
∴BC与⊙O相切，切点为E′．
②∵AD为⊙O直径
∴∠AED=90°
∵∠AEB+∠AED+∠DEC=180°
∴∠AEB+∠DEC=90°
在Rt△ABE中
∵∠AEB+∠BAE=90°
∴∠BAE=∠CED
在△ABE和△ECD中

∠BAE=∠CED ∠B=∠C

∴△ABE∽△ECD

（2）解：存在，使得△ABG∽△DCG．
∵△ABG∽△DCG
∴

AB

BG

=

DC

CG

∵AB=2，DC=1
∴BG=2CG
∵BG+CG=BC=4
∴BG=

2

3

BC=

8

3

（3）解：

过点D作DI⊥AB于I，过点O作OJ⊥BC于J
则四边形IBCD为矩形，即IB=DC=1，ID=BC=m
在Rt△AID中
∵AI=AB-BI=2-1=1
∴AD=

DI2+AI2

=

1+m2

∴⊙O的半径为

1+m2

2

在梯形ABCD中
∵OJ为中位线
∴OJ=

1

2

(AB+CD)=

1

2

(1+2)=

3

2

当OJ＞⊙O半径时，存在唯一P点有△ABP∽△DCP
此时

3

2

＞

1+m2

2

，解得m＜2

2

故m的取值范围：0＜m＜2

2

点评：此题的难度极高，主要体现在独立清晰理解题意的能力上．初看此题很容易被各种的动点、不确定弄晕头脑，所以冷静分析题目是解决问题的首要技能．而本题恰恰因为难理解，也给这个题一个很好的突破口，即深度分析前问知识，以前问结论为出发点思考后问．这是多数综合问题得以突破的关键，学生须加强此能力的练习．
本题中，第一问讨论了相切的问题，利用的是讨论圆半径与圆心到切线距离的关系比较．第二问就谈论相似三角形的问题，而且给出在直线与圆相交时，每个交点都能想成对相似三角形．并且后面就单独讨论是否存在另外的相似？学生很容易发现如果变化思维，将三角形的三个顶点交换顺序又存在一对相似三角形，且此点永远存在．当启发完上述知识后，问题进入第三问，那什么时候只存在唯一点使得只有一对三角形相似呢．由上问结论可发现，如果让直线与圆相离，那么就不存在圆上点使得三角形相似的情形，进而与题意符合，此时问题又回到第一问，如何根据圆半径与圆心到切线距离的关系比较确定圆与直线相离．所以体会前问意图对本题的顺利解决起到至关重要的作用，而如果把每一问割裂来看，想理解此题解决此题，非常困难．