Question

5．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7，如图2，在底边BC上取一点D，连接AD，使得∠DAC=∠ACD，如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连接BE，得到四边形ABED，则BE的长是$\frac{17}{4}$．

Answer 1

分析 只要证明△ABD∽△MBE，得$\frac{AB}{BM}=\frac{BD}{BE}$，只要求出BM、BD即可解决问题．

解答 解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ABC，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴$\frac{CA}{CB}$=$\frac{CD}{AC}$，
∴$\frac{4}{7}$=$\frac{CD}{4}$，
∴CD=$\frac{16}{7}$，BD=BC-CD=$\frac{33}{7}$，
∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，
∴△ADM∽△BDA，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DM}{DA}$，即$\frac{\frac{16}{7}}{\frac{33}{7}}$=$\frac{DM}{\frac{16}{7}}$，
∴DM=$\frac{1{6}^{2}}{33×7}$，MB=BD-DM=$\frac{3{3}^{2}-1{6}^{2}}{7×33}$，
∵∠ABM=∠C=∠MED，
∴A、B、E、D四点共圆，
∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，
∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB=∠BEM也可以！）
∴$\frac{AB}{BM}$=$\frac{BD}{BE}$，
∴BE=$\frac{BM•DB}{AB}$=$\frac{\frac{3{3}^{2}-1{6}^{2}}{7×33}×\frac{33}{7}}{4}$=$\frac{17}{4}$．
故答案为：$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．