Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为a，E．F分别是边AD、BC的中点，点G在CD上．且，DF、EG相交于点H．

（1）求出的值；

（2）求证：EG⊥DF；

（3）过点H作MN∥CD，分别交AD、BC于点M、N，点P是MN上一点，当点P在什么位置时，△PDC的周长最小，并求△PDC周长的最小值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析，△PDC周长的最小值＝ .

【解析】

（1）根据题意求出DE、DG，根据勾股定理求出EG，计算即可；

（2）证明△EDG∽△DCF，根据相似三角形的性质得到∠DEG＝∠CDF，根据垂直的定义证明结论；

（3）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，得到△PDC周长的最小值＝CD+DK，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可．

（1）解：∵E是边AD的中点，＝，正方形ABCD的边长为a，

∴DE＝AD＝a，DG＝DC＝a，

由勾股定理得，EG＝ ＝a，

∴＝＝；

（2）证明：＝，＝，

∴＝，又∠EDG＝∠DCF，

∴△EDG∽△DCF，

∴∠DEG＝∠CDF，

∵∠EDG＝90°，

∴∠DEG+∠DGE＝90°，

∴∠GDH+∠DGE＝90°，即∠DHG＝90°，

∴EG⊥DF；

（3）解：作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值＝CD+PD+PC＝CD+PD+PK＝CD+DK．

由题意：CD＝AD＝a，

由（1）可知，ED＝AE＝a，DG＝a，EG＝a，

△DEG的面积＝×EG×DH＝×DG×DE，

DH＝＝a，

∴EH＝＝a，

∴HM＝ ＝a，

∴DM＝CN＝NK＝＝a，

∴DK＝ ＝a，

则△PDC周长的最小值＝CD+DK＝ a．

故答案为：（1） ；（2）见解析；（3）见解析，△PDC周长的最小值＝ .