Question

四边形ABCD和CEFH都是正方形，连接AE，M是AF中点，连接DM和EM．

（1）如图①，当点B、C、H在一条直线上时，线段DM与EM的位置关系是

DM⊥EM

，

DM

EM

=

1

；
（2）如图②，当点B、C、F在一条直线上时，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

Answer 1

分析：（1）延长DM交EF于点N，通过证明三角形全等可以得出可以得出AD=NF，DM=NM，可以求出EN=ED，根据等腰三角形的三线合一的性质可以得出EM⊥DM，DM：EM的值为1；
（2）延长DM交BF于点N，连接ED、EN，先证明△AMD≌△FMN可以得出AD=FN，DM=NM，再证明△EDC≌△ENF就可以得出ED=EN，∠3=∠4，可以得出∠DEN=90°，由等腰直角三角形的性质就可以得出结论．

解答：（1）解：延长DM交EF于点N，
∵四边形ABCD和CEFH都是正方形，
∴AD=CD，CE=EF，AD∥EF，∠CEF=90°．
∴∠AFN=∠DAF，
∵M是AF中点，
∴AM=FM．
在△ADM和△FNM中，

∠DAF=∠NFM AM=FM ∠AMD=∠FMN

，
∴AD=FN．DM=MN，
∴CD=NF，
∴CE-CD=EF-NF，
即ED=EN．
∴EM⊥DN，
∵∠CEF=90°，
∴EM=

1

2

DN．
∵DM=

1

2

DN，
∴EM=DM．
∴DM：EM=1
故答案为：DM⊥EM，1； 
（2）结论仍然成立．
证明：延长DM交BF于点N，连接ED、EN，
∵四边形ABCD、ECHF都是正方形，
∴AD=DC，EC=EF，AD∥BC，
∠DCB=∠CEF=90°，∠1=∠EFC=45°．
∴∠DAM=∠NFM．
∵M是AF的中点，∴AM=FM．
在△AMD和△FMN中，

∠DAM=∠NFM AM=FM ∠AMD=∠FMN

，
∴△AMD≌△FMN（ASA）．
∴AD=FN，DM=NM．
又∵AD=DC，∴DC=FN．
∵点B、C、F在一条直线上，∠1=45°，∠DCB=90°，
∴∠2=45°．
∴∠2=∠EFC．
在△EDC和△ENF中，

DC=FN ∠2=∠EFC EC=EF

，
∴△EDC≌△ENF（SAS）．
∴ED=EN，∠3=∠4．
∴∠3+∠CEN=∠4+∠CEN=∠CEF=90°，即∠DEN=90°．
∵ED=EN，DM=NM，
∴DM⊥EM．
∴DM=EM．
∴

DM

EM

=1．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答本题的关键是作辅助线证明三角形全等．