Question

在△ABC中是否存在一点P，使得过P点的任意一直线都将该△ABC分成等面积的两部分？为什么？

Answer 1

解：假设存在点P满足条件，连BP并延长交AC于E，
则S_△ABD=S_△ACD，故BD=CD．
同理，AE=CE，则P为△ABC的重心，故=．

过P作BH∥BC，分别交AB、AC、于G、H，
由△AGH∽△ABC得，===，
则S_△AGN：S_{四边形BCGN}=4：5，
即S_△AGN≠S_{A四边形BCGN}，故点P不满足条件，
即不存在这样的点P．
分析：从“假设存在点P满足条件”去分析，假设存在点P满足条件，连BP并延长交AC于E，可得S_△ABD=S_△ACD，过P作BH∥BC，分别交AB、AC、于G、H，求证△AGH∽△ABC，利用面积比是相似比的平方，得出S_△AGN：S_{四边形BCGN}=4：5，从而证明假设错误．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，三角形的面积，三角形的重心等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用反证法求解，对学生来说难度较大．