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    15．如图，直线l：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+m与x轴交于A点，且经过点B（-$\sqrt{3}$，2）．已知抛物线C：y=ax2+bx+9与x轴只有一个公共点，恰为A点．
    （1）求m的值及∠BAO的度数；
    （2）求抛物线C的函数表达式；
    （3）将抛物线C沿x轴左右平移，记平移后的抛物线为C1，其顶点为P．
    平移后，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C1上？
    如能，求出此时顶点P的坐标；如不能，说明理由．

    分析 （1）将B的坐标代入直线l的解析式即可求出m的值，求出直线l的解析式后，设直线l与y轴交于点C，求出C的坐标后利用锐角三角函数即可求出∠BAO的度数；
    （2）由题意值：抛物线必定过（0，9），抛物线与x轴只有一个公共点A，即A点是抛物线的顶点，所以可以设抛物线的顶点式y=a（x+3$\sqrt{3}$）2，将（0，9）代入顶点式即可求出a的值；
    （3）设P的坐标为（h，0），由题意知，点P不能在A的左侧，所以点P在A的右侧，由于点P与D关于AB对称，且点D的坐标在抛物线C1上，所以求出D的坐标后，代入抛物线C1的解析式即可求出h的值．

    解答 解：（1）把B（-$\sqrt{3}$，2）代入y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+m，
    ∴2=-1+m，
    ∴m=3，
    ∴直线l的解析式为y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+3，
    设直线l与y轴交于点C
    令x=0代入y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+3，
    ∴y=3，
    ∴C的坐标为（0，3），
    令y=0代入y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+3，
    ∴x=-3$\sqrt{3}$，
    ∴A的坐标为（-3$\sqrt{3}$，0），
    ∴OC=3，OA=3$\sqrt{3}$，
    ∴tan∠BAO=$\frac{OC}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    ∴∠BAO=30°；

    （2）令x=0代入y=ax2+bx+9，
    ∴y=9
    ∴抛物线C经过（0，9），
    又∵抛物线C与x轴只有一个公共点，恰为A点，
    ∴A点是抛物线C的顶点，
    设抛物线的顶点式为y=a（x+3$\sqrt{3}$）2，
    把（0，9）代入y=a（x+3$\sqrt{3}$）2，
    ∴a=$\frac{1}{3}$，
    ∴抛物线C的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x+3$\sqrt{3}$）2；

    （3）设抛物线C1的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x-h）2，
    当点P在A的左侧时，
    点D一定不在抛物线C1上，
    此情况不符合题意，
    当点P在A的右侧时，
    此时，P（h，0）
    ∴AP=h+3$\sqrt{3}$，
    由对称性可知：AD=AP=h+3$\sqrt{3}$，
    ∠DAB=∠PAB=30°，
    过点D作DE⊥x轴于点E，
    ∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{h+3\sqrt{3}}{2}$，
    DE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}+9}{2}$，
    ∴D的坐标为（$\frac{h-3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}h+9}{2}$），
    把D（$\frac{h-3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}h+9}{2}$）代入y=$\frac{1}{3}$（x-h）2，
    ∴$\frac{\sqrt{3}h+9}{2}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{h+3\sqrt{3}}{4}$）2，
    ∴h=21$\sqrt{3}$或h=-3$\sqrt{3}$，
    当h=-3$\sqrt{3}$时，此时P与A重合，
    此情况不合题意，
    综上所述，P的坐标为（21$\sqrt{3}$，0）．

    点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及轴对称的性质，二次函数的性质，锐角三角函数，待定系数法求解析式等知识，内容较为综合，考查学生灵活运用知识的能力．

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    （1）写出平移后抛物线yk的解析式（用k表示）．
    （2）若平移后的抛物线yk与抛物线y=-x2交于点F，其对称轴与抛物线y=-x2交于点E，若tan∠FPkE=$\frac{1}{3}$，求整数k的值．
    （3）已知-6≤k≤6，若平移后抛物线的对称轴与x轴交于点Ak，以AkPk为边向右作正方形AkPkBkCk，判断：正方形的顶点Bk是否恰好是其他“好顶点抛物线”上的点？若恰好是，求出该整数k的值；若不存在，请说明理由．

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    （1）确定a、b、n及tan∠BAO的值；
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    （3）试确定在抛物线及对称轴上是否存在两点P、Q，使得四边形C、E、Q、P是平行四边形？如果存在请直接写出P、Q两点坐标；如果不存在，请说明理由．

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