Question

如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y=

k

x

(x＞0)的图象与边BC交于点F．
（1）若△OAE、△OCF的面积分别为S₁、S₂．且S₁+S₂=2，求k的值；
（2）若OA=2.0C=4．问当点E运动到什么位置时．四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少？

Answer 1

分析：（1）设E（x₁，

k

x1

），F（x₂，

k

x2

），x₁＞0，x₂＞0，根据三角形的面积公式得到S₁=S₂=

1

2

k，利用S₁+S₂=2即可求出k；
（2）设E(

k

2

，2)，F(4，

k

4

)，利用S_{四边形OAEF}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=-

1

16

(k-4)2+5，根据二次函数的最值问题即可得到当k=4时，四边形OAEF的面积有最大值，S_{四边形OAEF}=5，此时AE=2．

解答：解：（1）∵点E、F在函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，
∴设E（x₁，

k

x1

），F（x₂，

k

x2

），x₁＞0，x₂＞0，
∴S₁=

1

2

•x1•

k

x1

=

k

2

，S₂=

1

2

•x2•

k

x2

=

k

2

，
∵S₁+S₂=2，
∴

k

2

+

k

2

=2，
∴k=2；

（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，
设E(

k

2

，2)，F(4，

k

4

)，
∴BE=4-

k

2

，BF=2-

k

4

，
∴S_△BEF=

1

2

(4-

k

2

)(2-

k

4

)=

1

16

k2-k+4，
∵S_△OCF=

1

2

×4×

k

4

=

k

2

，S_矩形OABC=2×4=8，
∴S_{四边形OAEF}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=8-(

1

16

k2-k+4)-

k

2

=-

1

16

k2+

k

2

+4，
=-

1

16

(k-4)2+5，
∴当k=4时，S_{四边形OAEF}=5，
∴AE=2．
当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5．

点评：本题考查了反比例函数y=

k

x

(x＞0)k的几何含义和点在双曲线上，点的横纵坐标满足反比例的解析式．也考查了二次的顶点式及其最值问题．