Question

【题目】如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．

（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为_____；∠EFC的度数为_____；

（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．

Answer 1

【答案】（1）EF＝CF，120°；（2）结论成立，见解析；（3）EG＝.

【解析】

（1）利用直角三角形斜边中线定理及三角形外角性质解决问题即可；（2）结论成立．如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．想办法证明△MFC≌△NEF（SAS），可得结论；（3）如图3中，作EH⊥AB于H．想办法求出EH，HG即可解决问题．

（1）如图1中，

∵DE⊥AB，

∴∠BED＝90°，

∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∠A=30°，

∴FE＝FB＝FD＝CF，∠ABC=60°，

∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，

∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，

故答案为：EF＝CF，120°．

（2）结论成立．

理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．

∵BM＝MA，BF＝FD，

∴MF∥AD，MF＝AD，

∵AN＝ND，

∴MF＝AN，MF∥AN，

∴四边形MFNA是平行四边形，

∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，

在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，

∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，

在△AEN和△ACM中，

∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，

∵∠MAC＝∠EAN，

∴∠AMC＝∠ANE，

又∵∠FMA＝∠ANF，

∴∠ENF＝∠FMC，

在△MFC和△NEF中，，

∴△MFC≌△NEF（SAS），

∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，

∵NF∥AB，

∴∠NFD＝∠ABD，

∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°

∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．

（3）如图3中，作EH⊥AB于H．

在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，

∴AB＝2BC＝6，

在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，

∴DE＝AD＝1，

在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，

∴EH＝EDsin60°＝，

DH＝EDcos60°＝，

在Rt△EHG中，EG＝＝．