Question

如图，一次函数y₁=kx+1（k≠0）与反比例函数y2=

m

x

（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积？
（3）当y₁＞y₂时，请直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分别把A点坐标代入一次函数和反比例函数解析式求出k和m即可；
（2）利用直线l⊥x轴于点N（3，0）得到B、C点的横坐标，再利用（1）中的解析式可确定B与C点的纵坐标，然后利用三角形面积公式计算；
（3）先解方程组

y=x+1 y= 2 x

确定一次函数与反比例函数的另一个交点为（-2，-1），然后观察函数图象得到当-2＜x＜0或x＞1时，y₁＞y₂．

解答：解：（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1，
∴一次函数解析式为y=x+1；
将A（1，2）代入反比例解析式得：m=2，
∴反比例解析式为y=

2

x

；
（2）作AE⊥x轴于E，如图，
设一次函数与x轴交于D点，令y=0，求出x=-1，
∴D点坐标为（-1，0），
∵A（1，2），
∴AE=2，OE=1，
将x=3代入一次函数y=x=1得y=4，
将x=3代入反比例y=

2

x

得y=

2

3

∴B（3，4），C（3，

2

3

），
∴S_△ABC=

1

2

×（3-1）×（4-

2

3

）=

10

3

；
（3）解方程组

y=x+1 y= 2 x

得

x=-2 y=-1

或

x=1 y=2

，
∴一次函数与反比例函数的另一个交点为（-2，-1），
∴当-2＜x＜0或x＞1时，y₁＞y₂．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形面积公式．