Question

如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线．
（1）求证：∠A=2∠H；
（2）若△ABC中，AB=AC，当∠A等于多少度时，AB∥HC．

Answer 1

分析：（1）先根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2，再根据∠HCD是△BCH的外角得出∠H=∠HCD-∠HBC=∠2-∠1，由∠ACD是△ABC的外角得出∠A=∠ACD-∠ABC，由此即可得出结论；
（2）设∠A=x由（1）得∠H=

x

2

，再根据AB=AC可得出∠ABC=

180°-x

2

，根据BH是∠ABC的平分线可知∠1=

180°-x

4

，根据三角形外角的性质可知∠2=∠1+∠H=

180°-x

4

+

x

2

，再由平行线的判定定理即可得出结论．

解答：（1）证明：∵BH、CH分别是∠ABC、∠ACD的平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2，
∵∠HCD是△BCH的外角，
∴∠H=∠HCD-∠HBC=∠2-∠1，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠A=∠ACD-∠ABC=2∠2-2∠1=2（∠2-∠1）=2∠H；

（2）解：设∠A=x由（1）得∠H=

x

2

，
∵AB=AC，
∴∠ABC=

180°-x

2

，
∵BH是∠ABC的平分线，
∴∠1=

180°-x

4

，
∵∠HCD是△BCH的外角，
∴∠2=∠1+∠H=

180°-x

4

+

x

2

，
要使得AB∥CH，则必须满足∠ABC=∠2
∴

180°-x

2

=

180°-x

4

+

x

2

，解得x=60°
∴当∠A等于60°时，AB∥HC．

点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．