Question

17．如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，点E在线段AB上．
（1）求证：AE=BF，BF∥AC；
（2）若点D在直线AC上，且ED=EC（如图2），求证：AB=AD+BF；
（3）在（2）的条件下，若点E改为在线段AB的延长线上，其它条件不变（如图3），请直接写出AB、AD、BF之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=FC，推出△ACE≌△FCB，得到AE=BF且∠A=∠CBF=60°，于是得到∠A+∠ABF=180°，根据平行线的判定定理即可得到AC∥BF；
（2）过E作EM∥BC交AC于M，得到△AEM是等边三角形，求得AE=EM=AM，∠DAE=∠EMC=120°，根据全等三角形的性质，得到AD=CM，由（1）得△ACE≌△FCB，得到BF=AE，进而推出AB=BF+AD；
（3）过E作EM∥BC交AC的延长线于M，推出△AEM是等边三角形，根据等边三角形的性质，得到∠DAE=∠EMC=60°，推出∠ADE=∠ECM，根据全等三角形的性质，得到AD=CM，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，∵△ABC和△EFC都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=FC，
∴∠1=∠2，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠1=∠2}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，且∠BAC=∠FBC=60°，
又∠ABC=60°，
∴∠A+∠ABC+∠FBC=180°，即∠A+∠ABF=180°，
∴AC∥BF；

（2）证明：如图2，过E作EM∥BC交AC于M，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEM=∠AME=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE=EM=AM，
∴∠DAE=∠EMC=120°，
∵DE=CE，
∴∠D=∠1，
在△ADE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠EMC}\\{∠D=∠1}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MCE（AAS），
∴AD=CM，
由（1）得△ACE≌△FCB，
∴BF=AE=AM，
∵AC=AM+CM，
∴AC=BF+AD，
即AB=BF+AD；

（3）AB、AD、BF之间的数量关系为：AB=BF-AD，
理由：如图3，过E作EM∥BC交AC的延长线于M，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEM=∠AME=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE=EM=AM，
∴∠DAE=∠EMC=60°，
∵DE=CE，
∴∠ADE=∠DCE，
∴∠ADE=∠ECM，
在△ADE与△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠AME}\\{∠ADE=∠ECM}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MCE（AAS），
∴AD=CM，
由（1）得△ACE≌△FCB，
∴BF=AE=AM，
∵AM=AC+CM，
∴AC=AM-CM，
∴AC=BF-AD，
即AB=BF-AD．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质的综合应用，正确的作出辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题的关键．解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．