Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）找出图中与全等的三角形，并说明理由；
（2）猜想三条线段PC、PE、PF之间的比例关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质得∠ADP=∠CDP，DA=DC，从而得到△APD与△CPD全等．
（2）根据菱形的对边互相平行得∠DCF=∠F，再根据（1）题的结论得到∠DCP=∠DAP，从而证得△PAE∽△PFA，然后利用比例线段证得等积式即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ADP=∠CDP，DC=DA，
∴△APD≌△CPD（SAS）；

（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴∠DCF=∠F，
∵△APD≌△CPD，
∴∠DCP=∠DAP，
∴∠F=∠PAE，
∴△PAE∽△PFA，
∴

PA

PE

=

PF

PA

，
即：PA²=PE•PF，
∵P是菱形ABCD的对角线BD上一点，
∴PA=PC，
∴PC²=PE•PF．

点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定及性质，求解第二问关键是证明△PAE∽△PFA，是一道不错的综合题，难度一般．