解:(1)作斜边AC的中线BO,
∵△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴BO⊥BC,且BO=OC=AO,∠A=∠C=45°,
∵ED⊥AC,
∴∠EDC=∠OBC=OBA∠=45°,
∵PB=PD,
∴∠PDB=∠PBD=45°+∠PBO=45°+∠DPC,
∴∠PBO=∠DPC
∵ED⊥AC,
∴Rt△BOP≌Rt△PDE,
∴BO=PE,
∴PE=OC=AO,
∴PE=
,
(2)作斜边AC的中线BO,
∵△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴BO⊥BC,且BO=OC=AO,
∵AE⊥DE,
∴∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠CDE=45°,
∵PD=PB,
∴∠PDC=∠CBD,
∵∠DPE=∠DCE+∠PDC,∠OBP=∠OBC+∠CBP,
∴∠DPE=∠OBP,
∴△OPB≌△EDP,
∴OB=PE,
∴PE=OA=OC,
∴PE=
,
(3)如(1)中的图,作斜边AC的中线BO,
∵等腰直角三角形ABC,AB=BC=4,
∴OB=OC=OA=2
,
∵AP=1,
∴OP=2
-1,
∵Rt△BOP≌Rt△PDE,
∵ED⊥AC,
∴∠EDC=∠OBC=OBA∠=45°,
∴△DCE为等腰直角三角形,
∴PE=OB=2
,DE=CE=OP=
,
∵S
四边形PBDE=S
△BPO+S
△BOC-S
△CDE
=
=
.
故答案为PE=
,
.
分析:(1)作斜边AC的中线BO,即可推出BO⊥BC,且BO=OC=AO,然后通过求证△POB≌△DEP,推出PE=BO,即可推出PE与AC的数量关系,(2)依然成立,通过求证△OPB≌△EDP即可推出结论,(3)做作斜边AC的中线BO,根据(1)所推出的结论,即可得:PE=OB=2
,DE=CE=OP=
,通过S
四边形PBDE=S
△BPO+S
△BOC-S
△CDE,即可推出S
四边形PBDE的值.
点评:本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的面积公式等知识点,关键在于根据题意推出△OPB和△EDP全等及相关边的长度.