Question

已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；
（2）在图1中，若∠AOC=a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；
（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．
①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，
试确定∠AOF 与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE的度数；
（2）由（1）可得出结论∠DOE=

1

2

∠AOC，从而用含a的代数式表示出∠DOE的度数；
（3）由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，则得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（90°-∠DOE），从而得出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；
（4）设∠DOE=x，∠AOF=y，根据已知和：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，得出4x-5y=180，从而得出结论．

解答：解：（1）由已知得∠BOC=180°-∠AOC=150°，
又∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COD-

1

2

∠BOC=90°-

1

2

×150°=15°；

（2）由（1）∴∠DOE=∠COD-

1

2

∠BOC=90°，
∴∠DOE=90°-

1

2

（180°-∠AOC），
∴∠DOE=

1

2

∠AOC=

1

2

α；

（3）∠AOC=2∠DOE；
理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，
 则得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（90°-∠DOE），
所以得：∠AOC=2∠DOE； 
②4∠DOE-5∠AOF=180°                      
理由：设∠DOE=x，∠AOF=y，
左边=∠AOC-4∠AOF=2∠DOE-4∠AOF=2x-4y，
右边=2∠BOE+∠AOF=2（90-x）+y=180-2 x+y，
所以，2x-4y=180-2 x+y  即4x-5y=180，
所以，4∠DOE-5∠AOF=180°．

点评：此题考查的知识点是角平分线的性质、旋转性质及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．