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已知,O是直线AB上的一点,∠COD是直角,OE平分∠BOC.
(1)如图1,若∠AOC=30°,求∠DOE的度数;
(2)在图1中,若∠AOC=a,直接写出∠DOE的度数(用含a的代数式表示);
(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置.
①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系,写出你的结论,并说明理由;
②在∠AOC的内部有一条射线OF,满足:∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF,
试确定∠AOF 与∠DOE的度数之间的关系,说明理由.
分析:(1)由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°,再由∠COD是直角,OE平分∠BOC求出∠DOE的度数;
(2)由(1)可得出结论∠DOE=
1
2
∠AOC,从而用含a的代数式表示出∠DOE的度数;
(3)由∠COD是直角,OE平分∠BOC可得出∠COE=∠BOE=90°-∠DOE,则得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2(90°-∠DOE),从而得出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系;
(4)设∠DOE=x,∠AOF=y,根据已知和:∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF,得出4x-5y=180,从而得出结论.
解答:解:(1)由已知得∠BOC=180°-∠AOC=150°,
又∠COD是直角,OE平分∠BOC,
∴∠DOE=∠COD-
1
2
∠BOC=90°-
1
2
×150°=15°;

(2)由(1)∴∠DOE=∠COD-
1
2
∠BOC=90°,
∴∠DOE=90°-
1
2
(180°-∠AOC),
∴∠DOE=
1
2
∠AOC=
1
2
α;

(3)∠AOC=2∠DOE;
理由:∵∠COD是直角,OE平分∠BOC,
∴∠COE=∠BOE=90°-∠DOE,
 则得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2(90°-∠DOE),
所以得:∠AOC=2∠DOE; 
②4∠DOE-5∠AOF=180°                      
理由:设∠DOE=x,∠AOF=y,
左边=∠AOC-4∠AOF=2∠DOE-4∠AOF=2x-4y,
右边=2∠BOE+∠AOF=2(90-x)+y=180-2 x+y,
所以,2x-4y=180-2 x+y  即4x-5y=180,
所以,4∠DOE-5∠AOF=180°.
点评:此题考查的知识点是角平分线的性质、旋转性质及角的计算,关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分.
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(2)在图1中,若∠AOC=a,直接写出∠DOE的度数(用含a的代数式表示);
(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置,探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系.写出你的结论,并说明理由.

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(2)当∠AOC=40°,点C与点E、F在直线AB的两旁(如图2所示)时,求∠BOE和∠COF的度数.
(3)当∠AOC=n°,请选择图(1)或图(2)一种情况计算,
∠BOE=
(90+n)°
(90+n)°

∠COF=
45°+
1
2
45°+
1
2
(用含n的式子表示)
(4)根据以上计算猜想∠BOE与∠COF的数量关系
∠BOE=2∠COF
∠BOE=2∠COF
(直接写出结果).

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