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16.如图1,已知△ABC与△CDE均为等腰三角形,AC=BC,DC=EC,且∠ACB=∠DCE,连接AE、BD.
(1)求证:△BCD≌△ACE;
(2)如图2,若DC⊥EC,试判断直线AE与直线BD的位置关系,并说明理由.

分析 (1)证出∠BCD=∠ACE,由SAS证明△BCD≌△ACE即可;
(2)延长BD交AE于M,交AC于N,由全等三角形的性质得出∠CBD=∠CAE,由直角三角形的性质和对顶角相等证出∠CAE+∠ANM=90°,由三角形内角和定理得出∠AMN=90°即可.

解答 (1)证明:∵∠ACB=∠DCE,
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
在△BCD和△ACE中,$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}&{\;}\\{∠BCD=∠ACE}&{\;}\\{DC=EC}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△BCD≌△ACE(SAS);
(2)解:直线AE⊥直线BD;理由如下:
延长BD交AE于M,交AC于N,如图所示:
∵△BCD≌△ACE,
∴∠CBD=∠CAE,
∵DC⊥EC,
∴∠DCE=90°,
∴∠ACB=90°,
∴∠CBD+∠BNC=90°,
∵∠BNC=∠ANM,
∴∠CAE+∠ANM=90°,
∴∠AMN=90°,
∴AE⊥BD.

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、对顶角相等的性质、等腰三角形的性质;证明三角形全等是解决问题的关键.

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