Question

如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，连接AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当点P运动时，△APQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请求出△APQ的面积S关于x的函数解析式，并写出定义域；如果不发生变化，请说明理由；
（3）当以4为半径的⊙Q与直线AP相切，且⊙A与⊙Q也相切时，求⊙A的半径．

Answer 1

分析：（1）根据翻折的性质知：∠QAD=∠DAE=∠APB，由此可证得△QAD∽△APB，根据相似三角形所得比例线段即可求得y、x的函数关系式．
（2）由翻折的性质易证得△ADE≌△ADQ，可得QD=DE，即QE=2y，而△AQP的面积可由QE•BP的一半（即QD•BP）求得，由（1）知，QD•BP为定值即12，因此△APQ的面积是不会变化的．
（3）若⊙Q与直线AP相切，且半径为4，根据△APQ的面积即可求得AP的长，进而可得∠APB、∠QAD的度数，从而根据AD的长求得AQ的值；然后分⊙A与⊙Q内切、外切两种情况分类求解即可．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAP，
又由题意，得∠QAD=∠DAP，
∴∠APB=∠QAD，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ADQ∽△PBA，（1分）
∴

DQ

AB

=

AD

BP

，即

y

3

=

4

x+4

，
∴y=

12

x+4

，（1分）
定义域为x＞0．（1分）

（2）不发生变化（1分）
证明如下：
∵∠QAD=∠DAP，∠ADE=∠ADQ=90°，AD=AD，
∴△ADE≌△ADQ，
∴DE=DQ=y；（1分）
∴S_△APQ=S_△AEQ+S_△EPQ=

1

2

QE•AD+

1

2

QE•CP=

1

2

QE（AD+CP）=

1

2

QE•BP=DQ•BP=y×（x+4）=12；
所以△APQ的面积没有变化．

（3）过点Q作QF⊥AP于点F
∵以4为半径的⊙Q与直线AP相切，
∴QF=4（1分）
∵S_△APQ=12，
∴AP=6（1分）
在Rt△ABP中，
∵AB=3，
∴∠BPA=30°（1分）
∴∠PAQ=60°，此时AD=4，DE=

4  3

3

，
∴AQ=EQ=2DE=

8 3

3

（1分）
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与⊙Q相切，
∴⊙A与⊙Q外切或内切．
（i）当⊙A与⊙Q外切时，AQ=r+4，即

8 3

3

=r+4，
∴r=

8 3

3

-4．（1分）
（ii）当⊙A与⊙Q内切时，AQ=r-4，即

8 3

3

=r-4，则r=

8 3

3

+4
综上所述，⊙A的半径为

8 3

3

-4或

8 3

3

+4．

点评：此题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积的求法以及圆与圆的位置关系等知识，综合性强，难度较大．