如图.在正方形ABCD中.对角线AC.BD交于点O.现有一块足够大的直角三角板的直角顶点与点O重合.当直角三角板绕着点O旋转时.两条直角边OP.OQ分别保持与边AB.边BC相交于点E.F.连结EF.下列结论:①EF=OB.②EF=$\sqrt{2}$OF,③当EF∥AC时.△BEF的周长最小,④当BE变化时.四边形OEBF的面积也随之变化．其中结论正确的个数为( )A．1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．

如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，现有一块足够大的直角三角板的直角顶点与点O重合，当直角三角板绕着点O旋转时，两条直角边OP、OQ分别保持与边AB、边BC相交于点E、F，连结EF，下列结论：①EF=OB，②EF=$\sqrt{2}$OF；③当EF∥AC时，△BEF的周长最小；④当BE变化时，四边形OEBF的面积也随之变化．其中结论正确的个数为（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

分析根据旋转的性质以及正方形的性质，可得△BOE≌△COF，进而可得△EOF是等腰直角三角形，S_△BOE=S_△COF，进而得出四边形OEBF的面积=S_△BOE+S_△BOF=S_△COF+S_△BOF=S_△BOC（是定值），据此可得正确的结论．

解答解：①EF=OB不一定成立，
当OE⊥AB，OF⊥BC时，四边形OEBF是正方形，
此时EF=OB，
而OE⊥AB，OF⊥BC不一定成立，
故①错误；

②根据正方形ABCD，可得∠BOC=∠EOF=90°，OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
∴∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$OF，
故②正确；

③由②可得，△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BE=BC（定值），
∴当EF最短时，△BEF的周长最小，
此时OE、OF最短，即OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∴EF∥AC，
故③正确；

④当BE变化时，四边形OEBF的面积不变，
由②可得，△BOE≌△COF，
∴S_△BOE=S_△COF，
∴四边形OEBF的面积=S_△BOE+S_△BOF=S_△COF+S_△BOF=S_△BOC（定值），
故④错误．
故选：B．

点评本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，解题时注意：全等三角形的面积相等．

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