Question

12．阅读理解：
对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{-1，2.3}=$\frac{-1+2+3}{3}$=$\frac{4}{3}$； 
min{-1，2，3}=-1
min{-1，2，a}=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≤-1）}\\{-1（a＞-1）}\end{array}\right.$
（1）填空：①M{（-2）³，（-3）²，（-$\frac{1}{4}$）^-2}=$\frac{17}{3}$；②min{sin60°，cos45°，tan30°}=$\frac{1}{2}$；
③如果min{3，2x-5，-3x+24}=3，则x的取值范围为4≤x≤7．
探究归纳：
（2）①如果M{2015，x+2014，2x+2013}=min{2015，x+2014，2x+2013}，求x的值；
①根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min={a，b，c}，那么a=b=c（填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论；
迁移运用：
③运用②的结论，填空：M{3x+y，x+2y+11，4x-y-2}=min{3x+y，x+2y+11，4x-y-2}，则x+y=-11．

Answer 1

分析 （1）①根据M{a，b，c}表示这三个数的平均数，进行解答；
②因为用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．分别计算sin60°，cos45°，tan30°的值，因为tan30°最小，所以min{sin60°，cos45°，tan30°}=tan30°；
③由得出2x-5≥3，且-3x+24≥3，两个式子同时成立，据此即可求得x的范围；
（2）①结合题意，分情况讨论，将实际问题与数学思想联系起来，读懂题列出算式即可求解；
②根据①可以得到结论：当三个数的平均数等于三个数中的最小的数，则这几个数相等，据此即可写出；
③根据结论，三个数相等，即可求得x，y的值，从而求得x+y的值；

解答 解：（1）①M{（-2）³，（-3）²，（-$\frac{1}{4}$）^-2}=$\frac{（-2）^{3}+（-3）^{2}+（-\frac{1}{4}）^{-2}}{3}$=$\frac{17}{3}$，故答案为：$\frac{17}{3}$；
②min{sin60°，cos45°，tan30°}=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
③∵min{3，2x-5，-3x+24}=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-5≥3}\\{-3x+24≥3}\end{array}\right.$
解得：4≤x≤7．
故答案为：4≤x≤7．
（2）①M{2015，x+2014，2x+2013}=$\frac{2015+x+2014+2x+2013}{3}$=x+2014，
∵2x+2013-（x+2014）=x-1．当x≥1时，
则min{2015，x+2014，2x+2013}=2015，则x+2014=2015，
∴x=1．
当x＜1时，
则min{2015，x+2014，2x+2013}=2x+2013，则x+2014=2x+2013，
∴x=1（舍去）．
综上所述：x=1．
②a=b=c．理由如下：
∵M{a，b，c}=$\frac{a+b+c}{3}$，
如果min{a，b，c}=c，则a≥c，b≥c．
则有$\frac{a+b+c}{3}$=c，即a+b-2c=0，
∴（a-c）+（b-c）=0．
又∵a-c≥0，b-c≥0，
∴a-c=0且b-c=0．
∴a=b=c．
其他情况同理可证，故a=b=c．
故答案为：a=b=c．
（3）由②的结论，若M{3x+y，x+2y+11，4x-y-2}=min{3x+y，x+2y+11，4x-y-2}，
则3x+y=x+2y+11=4x-y-2，
解得：x=$-\frac{10}{3}$，y=-$\frac{23}{3}$，
∴x+y=-11．
故答案为：-11．

点评 本题考查了一元一次不等式组的应用，解决的关键是读懂题意，据题意结合方程和不等式去求解，考查综合应用能力．